a: Xét ΔAOM vuông tại A có tan AOM=AM/OA=căn 3

nên góc AOM=60 độ

=>sđ cung nhỏ AI=60 độ

=>sđ cung lớn AI=300 độ

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC và OM là phân giác của góc COA(1)

Xét (O) có

NC,NB là tiếp tuyến

nên NC=NB và ON là phân giác của góc COB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc MON=1/2*180=90 độ

Xét ΔMON vuông tại O có OC là đường cao

nên MC*CN=OC^2

=>AM*BN=R^2

c: góc IAC=90 độ-góc OIA

góc MAI=90 độ-góc OAI

mà góc OIA=góc OAI

nên góc IAC=góc IAM

=>AI là phân giác của góc MAC

mà MI là phân giác của góc AMC

nên I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAC

a: Xét (O) có

MC là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MC=MA

Xét (O) có

DC là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DC=DB

Ta có: CM+DC=DM

nên MD=MA+BD

1: Ta có \(\widehat{KAO}=\widehat{KMO}=90^o\) nên tứ giác KAOM nội tiếp.

2: Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(OI.OK=OA^2=R^2\)

3: Phần thuận: Dễ thấy H thuộc KI.

Ta có \(\widehat{AHO}=90^o-\widehat{HAI}=\widehat{AMK}=\widehat{AOK}\) nên tam giác AHO cân tại A.

Do đó AH = AO = R.

Suy ra H thuộc (A; R) cố định.

Phần đảo cm tương tự.

Vậy...

a/ Nối A với D ta có

\(\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AD\perp BC\)

=> H và D cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông => AHDC là tứ giác nội tiếp

b/ 

Xét tg vuông ACO có

\(\widehat{ACO}+\widehat{AOC}=90^o\)

Ta có \(\widehat{ADH}+\widehat{EDB}=\widehat{ADB}=90^o\)

Xét tứ giác nội tiếp AHDC có

 \(\widehat{ACO}=\widehat{ADH}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{EDB}\)

Xét tam giác EOH và tg EBD có

\(\widehat{BED}\) chung

\(\widehat{AOC}=\widehat{EDB}\)

=> tg EOH đồng dạng với tg EDB (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{EH}{EB}=\dfrac{EO}{ED}\Rightarrow EH.ED=EO.EB\)

a) Ta có \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{ADC}=90^0\)

Tứ giác \(AHDC\) có: \(\widehat{ADC}=\widehat{AHC}=90^0\) mà 2 góc này nội tiếp và chắn cung AC

\(\Rightarrow AHDC\) là tứ giác nội tiếp

b) Tứ giác \(AHDC\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ADE}\) (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Ta có: \(\widehat{EOH}=90^0-\widehat{ACO}=90^0-\widehat{ADE}=\widehat{EDB}\)

Xét \(\Delta EOH\) và \(\Delta EDB\) có:

\(\widehat{BED}\) chung

\(\widehat{EOH}=\widehat{EDB}\) (đã chứng minh)

\(\Rightarrow\Delta EOH\sim\Delta EDB\) (g.g) \(\Rightarrow\dfrac{EO}{EH}=\dfrac{ED}{EB}\Rightarrow EH.ED=EO.EB\)

d) Ta có: ∠(CFE) = 90 0  (F thuộc đường tròn đường kính CE)

Lại có CF là đường cao nên MC 2  = MF.ME

Tương tự, ta có:  MC 2  = MH.MO

⇒ ME.MF = MH.MO

⇒

Xét ΔMOF và ΔMEN có:

∠(FMO) chung

⇒ ΔMOF ∼ ΔMEN (c.g.c)

⇒ ∠(MOF) = ∠(MEH)